Sunday, April 3, 2011

PENULISAN PEMBENTANGAN GEOMETRI

Pendahuluan

Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat bersifat holistik. Ianya adalah relatif bagi aspek kehidupan, seperti membuat pengiraan, membuat pentaksiran dan penilaian, seterusnya membuat keputusan. Di dalam fasa penyelesaian masalah kehidupan seharian, manusia perlu untuk mengeluarkan pendapat seterusnya memberikan hujah ataupun releven terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil. Disinilah peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat pertimbangan yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.

Di dalami memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal manusia, ia sepatutnya bermula dari peringkat awal kanak-kanak. Konsep matematik terhadap alam sekeliling sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap sesuatu benda, terutama melalui deria sentuhan. Peringkat awal pendedahan kanak-kanak lebih kepada bentuk konkrit . Pandangan kanak-kanak terhadap persekitaran mereka sebenarnya telah mencetuskan pelbagai persepsi terhadap alam sekeliling. Pelbagai tafsiran terbentuk di dalam minda kanak-kanak, sama adaboleh bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi.

Konsep Geometri dan hubungannya dengan kanak-kanak tidak dapat dipisahkan. Seperti yang telah dijelaskan, penerokaan kanak-kanak terhadap bentuk, terutama bentuk 3 dimensi telah berlaku sejak bayi. Mereka dideahkan dengan pelbagai objek permainan yang mempunyai pelbagai bentuk, saiz, warna dan tekstur. Pendedahan awal inilah yang membantu kanak-kanak membentuk pemikiran terhadap geometri. Apabila kanak-kanak memasuki alam persekolahan, rancangan pengajaran dan pembelajaran kemahiran geometri mestilah berdasarkan prakonsep yang telah terbentuk di dalam pemikiran kanak-kanak ini. Peranan guru adalah sangat kritikal supaya konsep-konsep yang terbentuk dapat dikembang atau diperbetulkan bagi membolehkan kanak-kanak memahami serta dapat menyelesaikan masalah yang berkait dengan geometri, seterusnya menghargai keindahan yang terdapat di dalam unsur-unsur geometri.




Apa Itu Geometri
Ilmu geometri telah wujud dan berkembang sejak dari zaman mesir purba, walaupun ia lebih lama daripada itu. Pandangan cendikiawan hanya merujuk bermulanya ilmu geometri pada zaman Tamadun Mesir, kerana bermula pada zaman inilah, ilmu geometri direkodkan secara bertulis. Unsur perkembangan geometri adalah disebabkan aktiviti menyukat semula kawasan milik penduduk mesir yang sering di landa banjir akibat limpahan sungai Nil. Geometri berasal daripada perkataan latin iaitu ‘Geo’ yang bermaksud tanah, dan ‘metri’ yang bermaksud ukur. Secara umumnya, ilmu geometri adalah cabang ilmu matematik yang mengambil berat persoalanan mengenai saiz, bentuk, dan kedudukan relatif dari rajah dan sifat ruang. Geometri ialah salah satu dari sains yang tertua.

Permulaan geometri terawal yang direkodkan boleh dijejak ke Mesopotamia purba, Mesir, dan Lembah Indus dari sekitar 3000 SM. Geometri awal adalah koleksi dari empirikal yang dijumpai yang mengambil berat jarak, sudut, luas, dan isipadu, yang telah berkembang untuk menemukan sesetengah keperluan praktikal dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan berbagai kraf. Teks terawal yang dikenali pada geometri ialah Papirus Papirus Mesir, dan Papirus Moscow, Batu bersurat tanah liat Babylonia, dan Shulba Sutras India, manakala orang Cina mempunyai karya Mozi, Zhang Heng, dan Sembilan Bab pada Seni Matematik, ditulis oleh Liu Hui.

Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematik Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set aksiom secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak usul (teorem-teorem) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logik yang komprehensif. Buku Elements ini bermula dengan geometri satah, yang masih lagi diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioman dan contoh-contoh pembuktian formal yang pertama. Kemudiannya, Elements merangkumi geometri pepejal dalam tiga dimensi, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan daripada Elements menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yang kini disebut sebagai teori nombor, yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.

Rasional Ilmu Geometri

Geometri menghubungkan manusia dengan dunia seharian. Semua aspek praktikal dan estetik geometri boleh ditemui dalam bidang seni dan pembinaan, penerokaan ruang, perancangan perumahan, serta rekaan fesyen dan kenderaan. Topik-topik ini sebenarnya memberikan persepsi yang berbeza kepada kanak-kanak dan akan menarik minat mereka untuk melibatkan diri dengan ilmu geomteri. Hubungan yang terbentuk dengan alam sekeliling dengan ilmu geomteri akan membentuk dan mengembangkan pengetahuan dan kemhiran geometri, kemahiran memvisualisasi ruang, atau boleh ditakrifkan sebagai celik ruang (spatial sense), serta keupayaan menyelesai masalah.

Del Grande dan Morrow (1989), menyenaraikan 7 kemahiran yang menyumbang kepada kemahiran celik ruang iaitu;
a. Koordinasi motor-mata
b. Persepsi latar-bentuk
c. Ketetapan persepsi
d. Position-in –space perception
e. Persepsi hubungan antara ruang
f. Diskriminasi visual
g. Memori visual
Semua kemahiran ini boleh dikuasai dan dikembangkan dengan aktiviti yang dilakukan dengan meneroka bentuk 2 dimensi dan tiga dimensi oleh kanak-kanak.

Sistem dan konsep Geometri

Disebabkan geometri adalah sebahagian daripada kehidupan manusia, ahli-ahli matematik telah membangunkan beberapa system geometri. Sistem-sistem tersebut adalah Geometri Topologi, Geometri Euclidean, Geometri Koordinat dan Geometri Transformasi.
Geometri Topologi adalah ilmu geometri yang berkait dengan kedudukan objek seperti dekat, jauh, dalam, luar dan sebagainya. Konsep-konsep yang perlu kanak-kanak didedahkan adalah seperti konsep ‘proximity’, kedudukan relatif, susunan serta pengasingan dan juga konsep ‘enclosure’.. Geometri Koordinat adalah juga geometri kedudukan tetapi dalam bentuk grid grid dan biasanya meliibatkan titik-titik atau paksi. Geometri Transformasi pula merujuk kepada geometri berubah seperti pusingan, terbalik, pantulan dan sebagainya. Teselasi adalah konsep penting yang perlu dikembangkan di dalam Geometri Transformasi. Geometri Euclidean adalah system geometri yang paling luas dipelajari, iaitu ilmu geometri asas yakni bentuk, sama ada 2 dimensi atau 3 dimensi. Dalam geometri Euclidean inilah kanak-kanak malahan seluruh manusia belajar mengenai bentuk serta elemen-elemen di dalamnya.

Walaupun sistem ini wujud dalam bentuk yang terasing, tetapi dari aspek praktikalnya masing-masing saling bertindan. Hanya istilah yang boleh membezakan setiap jenis geometri ini. Gurulah yang berperanan mendedahkan kepada murid ilmu geometri agar mereka dapat menguasai kemahiran geometri serta celik ruang.

Elemen-Elemen Geometri

Plane Figures
1. Points : ialah titik iaitu lokasi dalam ruang,pada permukaan atau dalam system koordinat. Titik tidak mempunyai dimensi dan ditakrifkan hanya oleh kedudukannya sahaja. Ianya mengandungi lebar dan ketebalan. Contoh :



2. Lines : ialah sambungan diantara dua titik dalam ruang atau pada suatu permukaan. Garisan merupakan satu siri set titik. Ianya mempunyai panjang tetapi tidak ada lebar,iaitu mempunyai satu dimensi sahaja. Garis lurus ialah jarak terpendek diantara dua titik pada permukaan yang rata. Contoh :


3. Planes : ialah sebarang lokus titik – titik yang diperluaskan dalam dua dimensi. Ia ditakrifkan sebagai satu luas. Permukaan boleh menjadi rata (permukaan satah) atau melengkung, terhingga atau tak terhingga. Ianya mempunyai panjang dan lebar tetapi tiada tinggi.
4. Angles : iaitu ruang diantara dua garisan atau permukaan yang bertemu. Jika dua garis selari,maka sudut diantaranya ialah sifar. Sudut diukur dalam `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah dan sudut tegak ialah 90 darjah. Contoh :




5. Curves and convex sets :
curves : ialah set titik – titik yang membentuk atau boleh disambungkan oleh satu garis selanjar pada graf atau permukaan yang lain. Terdapat beberapa jenis lengkung(curves) antaranya ialah :

1 ) simple curve : iaitu titik mula dan titik akhir tidak bertindih antara satu sama lain atau tidak bertemu di penghujungnya. Contohnya



2 ) simple closed curve : iaitu lengkung mudah yang mana titik mula dan titik akhirnya bertemu di satu titik yang sama. Contohnya :



3 ) closed curve : iaitu lengkung yang bertindih diatasnya sendiri tetapi titik mula dan titik akhir bertemu disatu titik yang sama. Contoh perbezaan ‘ closed ‘ dan ‘ open ‘ curve



4 )Convex sets : iaitu penyatuan diantara `simple closed curve’ didalamnya dipanggil kawasan permukaan (plane region). Ianya boleh diklasifikasikan kepada dua iaitu convex dan nonconvex :
Convex : iaitu garisan lurus dan lengkung yang bersatu diantara dua titik.
Nonconvex : iaitu garisan yang merentasi lengkung atau garis lurus yang merentasi suatu permukaan sempadan yang berada diluar kawasannya. Contoh :



6. Polygons : iaitu `simple closed curve’ yang mana penyatuan diantara garis – garis lurus. Penyatuan garis lurus didalam polygon disebut sebagai kawasan bersudut(polygonal region). Polygon boleh diklasifikasikan kepada beberapa jenis berdasarkan kepada bilangan sisi garis lurus yang terdapat padanya. Garisan lurus pada polygon disebut sisi(sides),titik akhir yang bertemu disebut bucu(vertices). Dua sisi adalah sisi bersebelahan jika berkongsi bucu yang sama dan dua bucu adalah bucu yang bersebelahan jika berkongsi garis lurus sisi yang sama. Mana – mana garis lurus yang menyambungkan dari satu bucu ke bucu yang tidak bersebelahan di panggil pepenjuru(diagonal).

Polygons and tessellations

1. Angles in polygons : sudut diukur dalah `darjah’ atau dalam `radian’. Satu kitaran lengkap ialah 360 darjah. Garis lurus membentuk sudut 180 darjah manakala suatu sudut tegak ialah 90 darjah. Sudut diantara satu garis lurus dan satu satah/permukaan ialah sudut diantara garis itu dengan unjuran ortogonnya pada satah itu. Sudut diantara dua satah atau permukaan ialah sudut diantara garis – garis yang dilukis bercabang dengan menggunakan titik yang sama.






Terdapat beberapa jenis sudut dalam polygon diantaranya ialah :

a. Sudut tirus
b. sudut lurus
c. sudut tegak
d. sudut refleks
e. sudut cakah

2. Congruence : adalah suatu keadaan dimana menunjukkan dua atau lebih banyak rajah yang sama dalam saiz dan bentuk. Suatu rajah apabila diletakkan didalam satu rajah yang lain,bentuknya menjadi sama. Ianya juga boleh digerakkan tanpa mengubah saiznya. dua garis lurus adalah kongruen jika kedua – duanya adalah sama panjang dan dua sudut adalah kongruen jika ukurannya adalah sama.

3. Regular polygons : polygon disebut sebagai `regular polygon’ jika ianya memenuhi kedua – dua criteria berikut :

a. Semua sudut adalah kongruen
b. Semua sisinya adalah kongruen
Antara jenis – jenis `regular polygon’ ialah :
a. Equilateral triangle
b. Square
c. Regular pentagon
d. Regular hexagon
e. Regular heptagon

4. Tessellations with polygons : ialah suatu keadaan dimana penyusunan bentuk – bentuk polygon tanpa ada pertindihan rajah diatasnya dan ada jurang yang berlaku diantaranya untuk menutup sesuatu ruang. Contohnya seperti floors and ceilings. Tiga jenis polygon iaitu ` regular hexagons’ , `square’ and ` equilateral triangles’ adalah `regular polygons’ yang tessellated(menyerupai mozek).





Space figures

1. Planes : didalam bentuk 2-D seperti (lines,angles,polygons) hanya terdapat pada satu permukaan (plane). Dalam 3-D pula ianya terbentuk daripada sejumlah permukaan yang dicantumkan menjadi bongkah. Apabila dua permukaan(plane)yang selari diletakkan secara bersilang maka terdapat sudut tegak iaitu perpendicular.

2. Polyhedra : adalah bentuk – bentuk 3-D yang terdiri daripada beberapa permukaan rata. Setiap garis lurus sisi terbentuk secara semulajadi. Setiap permukaan yang ada pada bongkah itu dipanggil `polygonal region’,yang apabila digabungkan menjadi polyhedral. Permukaan yang terdapat pada polyhedra dipanggil permukaan(faces),permukaan bersilang pada sisi/tepi dan bucu. Penyatuan polyhedron dan bahagian didalamnya dipanggil solid(pepejal). Polyhedron dipanggil convex(cembung) apabila garis lurus bersambung dengan titik yang berada didalam ataupun pada permukaannya.


3. Regular polyhedra : ialah `convex polyhedron’ yang mana permukaannya sama dengan `regular polygons’. Bilangan yang sama apabila bertemu pada setiap bucu. Terdapat 5 `regular polyhedra’ diantaranya :

a. Tetrahedron : 4 triangles for faces
b. Cube : 4 square faces
c. Octahedron : 8 triangular faces
d. Dodecahedron : 12 pentagons for faces
e. Icosahedrons : 20 triangular faces

4. Semiregular polyhedral : yang mana permukaannya mempunyai dua atau lebih `regular polygons’ dengan susunan yang sama pada keseluruhan bucu – bucunya bertemu.

5. Pyramids and prisms :
Pyramids : iaitu rajah yang mana tapaknya ialah sebarang polygon dan permukaannya mestilah beberntuk segitiga dengan bucu yang sama. Pyramid dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya. Pyramid juga mempunyai puncak(apex).

Prisms : iaitu rajah yang mempunyai dua permukaan yang selari diatas dan dibawah yang disebut sebagai tapak,ianya juga merupakan polygon kongruen. Sepertimana pyramid,prisma juga dinamakan berdasarkan bentuk tapaknya.

6. Cones and cylinders :
Cones : ialah sebuah bentuk dimana ianya menyerupai pyramid dan prisma tetapi mempunyai tapak yang berbentuk bulat,manakala sisi/tepinya melengkung dan mencondong ke arah bucu(apex).

Cylinders : mempunyai dua tapak yang berbentuk bulat yang sama saiz. Ianya mempunyai bahagian sisi yang melengkung yang menghubungkan dua tapak itu tadi.

7. Spheres and maps :

Spheres : adalah satu siri set titik dalam ruang yang mempunyai jarak yang sama dari titik pusat. Penyatuan semua sfera dalamannya membentuk `solid sphere’.

Jejari : jarak dari pusat bulatan ke seberang titik pada lilitannya atau dari pusat sfera ke permukaannya
.
Diameter : jarak yang melintangi suatu rajah satah atau satu bulatan pada titik yang paling lebar. Diameter bulatan atau sfera adalah dua kali jejarinya.

Maps : iaitu peta yang diambil atau di lukis daripada bumi yang berbentuk sfera yang dapat menterjemahkan keseluruhan kedudukan dan jarak pada bumi. Cara penyalinan semula ini dipanggil ` map projections’. Ada tiga cara untuk tujuan ini antaranya ialah :

 Cylindrical projection

 Conic projection

 Plane projection


Symmetric figures

1. Reflection symmetry for plane figures : transformasi geometri bagi suatu titik atau set titik dari sebelah suatu titik ,garis atau satah ke suatu kedudukan bersimetri disebelah yang lain. Satu garisan dilukis melalui sesuatu bentuk. Setiap titik asal bentuk tersebut mempunyai jarak yang sama dari garis itu tetapi disebelah yang lain pula. Manakala reflection yang menggunakan cermin rajah yang terbentuk didalam cermin mempunyai bentuk yang dan dikenali sebagai image.

2. Rotation symmetry for plane figures : transformasi geometri dimana suatu rajah digerakkan secara kekal di sekitar suatu titik tetap. Jika titik tersebut,pusat putaran dilabelkan sebagai O,maka untuk sebarang titik P pada rajah tersebut yang bergerak ke titik P’ setelah diputarkan.

3. Reflection symmetry for space figures : transformasi geometri 3-D dimana image akan terbentuk seperti pantulan didalam cermin dimana paksi simetri yang akan memisahkan bentuk tersebut.

4. Rotation symmetry for spce figures : transformasi geometri 3-D dimana objek yang diputarkan akan berada pada tempat asalnya ,walaupun putaran dilakukan tetapi kedudukannya adalah sama berdasarkan darjah putaran yang telah ditetapkan.


The van Hiele Theory (Theory in Development of Learning Geometry)

Teori perkembangan pembelajaran Geometri ini telah dicipta oleh Dina van Hiele-Geldof dan Pierre Marie van Hiele, sepasang suami isteri dari Belanda yang telah banyak tahun mengkaji bagaimana kanak-kanak membentuk pemahaman terhadap Geometri Euclid.







Mereka telah menamakan lima peringkat pemahaman geometri:

i ) Tahap 0 (recognition)-peringkat mengenal dan menamakan bentuk

ii ) Tahap 1 (analysis)- peringkat menggambarkan cirri-ciri bentuk

iii ) Tahap 2 (Relationships)-peringkat mengelas dan membuat generalisasi terhadap ciri-ciri bentuk

iv) Tahap 3 (Deduction)-peringkat membentuk pembuktian dan definisi berdasarkan pengkelasan

v ) Tahap 4 ( Axiomatics)-peringkat meneroka pelbagai system geometri

Terdapat tiga peringkat awal yang perlu diterokai semasa pendidikan rendah. Pada peringkat pertama, kanak-kanak belajar mengenal jenis bentuk dan menamakan bentuk-bentuk yang ada di sekeliling mereka. Mereka mengenalpasti bentuk-bentuk ringkas seperti bulat, kon, segiempat, kiub dan sebagainya. Pengetahuan mengenai bentuk ini terbina sebelum alam persekolahan bermula lagi. Manakala bagi peringkat kedua adalah keupayaan kanak-kanak untuk menggunakan perkataan-perkataan yang lebih spesifik terhadap ciri yang ada pada bentuk tersebut seperti segitiga ada tiga sisi, tiga bucu, segiempat ada enam permukaan dan sebagainya.

Bagi peringkat yang ketiga adalah, peringkat di mana kanak-kanak berupaya ataupun boleh membuat pengkelasan terhadap ciri bentuk yang telah diketahui serta memperkembangkannya ke dalam istilah-stilah yang lebih spesifik seperti sekata, tak sekata, bersudut tegak, condong, capah dan sebagainya.

Kesimpulannya, geometri yang berbeza boleh dikelaskan mengikut ciri-cirinya yang tersendiri. Namun begitu ianya berkaitan di antara satu sama lain dalam pelbagai cara.






RUJUKAN

Del Grande, J. J. (1987). Spatial Perception and Primary Geometry. In M. M. Lindquist
(Ed.) Learning and Teaching Geometry, K-12, pp 127-135. Reston, VA: National
Council of Teachers of Mathematics.

Burger W. & Shaunessy J. (1986). Characterizing the van Hiele levels of development in
geometry. Journal for Research in Mathematics Education. 17 (1) 31-48.

van Hiele, P. (1986). Structure and Insight: a theory of mathematics education.
Developmental Psychology Series. London: Academic Press

Retrieved January 13, 2011 from http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
Retrieved January 13, 2011 from http://www.mathsisfun.com/geometry/index.html
Retrieved January 13, 2011 from http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html
Retrieved January 13, 2011 fromhttps://www.ncetm.org.uk/mathemapedia/Van_Hiele_Levels

No comments:

Post a Comment